A.5 Wellenwiderstände
© M. Zollner 1999 - 2014
A-21
A.5 Wellenwiderstände
Der
Wellenwiderstand
Z
W
verbindet bei der fortschreitenden Transversalwelle die Querkraft
F
mit der Querschnelle
v
. Bei der
idealisierten
(biegesteife
freien
) Saite hängt
Z
W
von der
längenspezifischen Masse
m
' und der längenspezifischen Nachgiebigkeit
n
' ab:
c
m
c
D
f
D
n
m
v
F
Z
G
W
⋅
=
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
=
=
'
/
2
4
/
'
/
'
/
2
2
Ψ
ρ
π
π
ρ
Ψ
M
Wellenwiderstand
Hierbei bedeuten:
Ψ
= Spannkraft,
ρ
= Dichte,
D
= Durchmesser,
M
= Mensur
♣
,
f
G
= Grund-
frequenz,
c
= Phasengeschwindigkeit. Übliche
Z
W
-Werte liegen bei Massivsaiten zwischen
0.1 und 0.4 Ns/m. Bei umsponnenen Saiten kann für tiefe Frequenzen die Biegesteifigkeit
ignoriert werden und lediglich
ρ
durch
ρ
ersetzt werden; die hierzu gehörenden Wellen-
widerstände liegen dann im Bereich zwischen 0.3 und 1.2 Ns/m.
7
8
9
10
12
14
16
18
20
30
40
50
60
0.1
0.15
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.2
1.4
f = f
G
E
A
D
G
g
h
e
Aussendurchmesser / mil
F / v
- Welenwiderstand
in
Ns/m
0
2
4
6
8
10
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
E
(46 mil)
κ
= 0,42
κ
= 0,33
Frequenz / kHz
F / v
- Welenwiderstand
in
Ns/m
Abb. A.5.1:
Wellenwiderstand für unterschiedliche Außendurchmesser. Die gestrichelten Kurven gehören zu
Saiten mit relativ dünnem Kern. Bei der E
2
-Saite (rechtes Bild) ist im oberen Frequenzbereich der Einfluss der
Biegesteifigkeit erkennbar. Mit abnehmendem Saitendurchmesser verliert die Biegesteifigkeit an Bedeutung, aus
der Biegewelle wird eine Transversalwelle.
Bei Berücksichtigung der
Biegesteifigkeit
stößt man auf kompliziertere Zusammenhänge. Die
Wellengleichung enthält nun neben der zweiten örtlichen Ableitung auch eine vierte örtliche
Ableitung. Als Konsequenz hiervon ergeben sich nicht nur (in beide Richtungen) fortschrei-
tende Wellen, sondern (im Nahbereich der Lager) auch exponentiell abnehmende Randfelder.
Die fortschreitenden Wellen muss man in Biegewellen und Biegemomentwellen unterteilen,
und deshalb ist es erforderlich, neben einem
F
/
v
-Wellenwiderstand einen
M
/
w
-Widerstand zu
definieren, der in entsprechender Weise das Biegemoment mit der Winkelgeschwindigkeit
verbindet. Beide Widerstände sind zwar reell, aber frequenzabhängig. Im Fall einer Saite,
deren Querabmessungen klein gegenüber der Biegewellenlänge sind ("dünner Stab"), kann
vereinfacht werden: Außerhalb der Randfelder, die sich nur über wenige Millimeter erstre-
cken, reicht zur Beschreibung
ein
Wellentyp. Die vier Wellengrößen sind:
F
,
v
,
M
,
w
(Kap.
A.4.1, A.4.2); bei Kenntnis zweier Größen lassen sich die anderen beiden errechnen. In
Abb.
A.5.1
ist der
F
/
v
-Wellenwiderstand für die Saitengrundfrequenzen dargestellt. Das Verhältnis
Kern-/Außendurchmesser (
κ
) hat für
f
=
f
G
wenig Einfluss, bei dicken Saiten und hohen Fre-
quenzen muss die Biegesteifigkeit aber berücksichtigt werden.
♣
Im Kapitel A.5 steht
M
für ein mechanisches Moment, und
M
für die Saiten-Mensurlänge.