Anhang
© M. Zollner 1999 - 2014
A-10
A.3 Transversalwellen
Bei der Transversalwelle bewegen sich alle Mediumteilchen quer zur Ausbreitungsrichtung
der Welle. Zur Berechnung teilt man das Medium wie bei der Longitudinalwelle in dünne
Scheiben, die sich jetzt aber nicht parallel zur Ausbreitungsrichtung verschieben, sondern
(unter zusätzlicher Formänderung) senkrecht hierzu. Im einfachsten Fall schwingt jeder
Scheibenschwerpunkt in derselben Schwingungsebene (ebene oder lineare
Polarisation
), im
allgemeinen Fall schwingt jeder Scheibenschwerpunkt auf einer Raumkurve (z.B.
z
= const.,
zirkulare oder elliptische Polarisation). Im Unterschied zur Biegewelle (A.4) bleiben die
ebenen Trennflächen der Scheiben aber stets parallel. (
Abb. A3.2, Abb. A4.2
).
A.3.1 Reine Transversalwellen
Wenn sich alle Mediumteilchen mit identischer Geschwindigkeit in dieselbe Richtung bewe-
gen, entsteht keine Wellenausbreitung; dieser Fall ist im Rahmen der vorliegenden Betrach-
tungen nicht interessant. Bei einer Transversalwelle ist die Querbewegung orts- und zeitab-
hängig, mit jeweils nichtkonstanten Abhängigkeiten. Dies erfordert im Medium eine Form-
änderung, die bei der reinen Transversalwelle einen Quader durch die angreifenden Scher-
spannungen zu einem Parallelepiped (schiefes Prisma) verformt. Die Systemgrößen sind die
Materialdaten
Dichte
ρ
und
Schubmodul
G
. Bei einer Saite wäre dieser Spannungszustand
allenfalls zu beachten, wenn sie ohne Vorhandensein einer Spannkraft bewegt würde. Da
dieser Betriebsfall aber untypisch ist, wird er nicht weiter verfolgt.
A.3.2 Saiten-Transversalwellen
Das Newton'sche Trägheitsaxiom besagt, dass die Geschwindigkeit einer Masse nur durch
Krafteinwirkung geändert werden kann. Jedes der in Querscheiben geschnittene Saitenstück-
chen hat eine Masse, die sich aus Dichte und Volumen ergibt. An den Scheibentrennflächen
greifen mechanische Spannungen an, die (gemittelt und mit der Querschnittsfläche multipli-
ziert)
eine
externe Kraft pro Trennfläche ergeben. Die Trennflächen stehen senkrecht auf der
Saitenachse (
z
-Achse), jede externe Kraft kann bezüglich der Trennfläche in eine Normal-
und Tangentialkomponente zerlegt werden. Im Ruhezustand der Saite ist die Tangential-
komponente null, die Normalkomponente entspricht der
Spannkraft
Ψ
. Bei einer Transver-
salschwingung bewegen sich die Saitenstückchen nur in Querrichtung, die Normalkraft
enthält somit keinen Wechselanteil; sie verharrt auf dem konstanten Wert
Ψ
.
Die auf beiden
Seiten des Saitenstückchens angreifenden Tangentialkräfte ergeben als Vektorsumme die
Querkraft
, die für die Querbeschleunigung verantwortlich ist (Verluste vernachlässigt).
Die Masse jedes Saitenstückchens denkt man sich im jeweiligen Schwerpunkt konzentriert,
die Richtungen der externen Kräfte folgen den zwischen den Schwerpunkten liegenden
Verbindungslinien (
Abb. A3.1
). Wenn
ξ
(
z
,
t
) die orts- und zeitabhängige Saitenauslenkung
beschreibt (ebene Polarisation), dann ist
z
∂
∂
/
ξ
die Steigung der Saite bzw. der Kräfte. Damit
eine von null verschiedene Querkraft entsteht, müssen die links- und rechtsseitige Steigung
unterschiedlich sein; andernfalls wären wegen der gleichen Normalkräfte auch die Tangential-
kräfte gleich, und die Resultierende somit null. Eine von null verschiedene Querkraft kann
folglich nur an Stellen auftreten, an denen die
Änderung
der Steigung (d.h.
2
2
/
z
∂
∂
ξ
) ungleich
null ist, d.h. an Stellen mit von null verschiedener
Krümmung
.