1.1 Transversalwellen

1-3

Die von den Reflexionen herrührende periodische Wiederholung kann als (zeitliche) Faltung

des Anregungsimpulses mit einem kausalen Dirac-Puls aufgefasst werden. Kausal bedeutet,

dass das Signal für negative Zeiten identisch null ist, ein kausaler Dirac-Puls enthält für

≥

äquidistante Dirac-Impulse. Einer zeitlichen Faltung entspricht im Spektralbereich eine

Multiplikation des Anregungsspektrums mit dem Spektrum des kausalen Dirac-Pulses, das

komplex sein muss, da die Zeitfunktion (kausaler Dirac-Puls) weder gerade noch ungerade ist

(Zuordnungssatz). Über eine Partialbruchzerlegung kann man zeigen, dass zum kausalen

Dirac-Puls ein kotangensförmiges Imaginärteilspektrum gehört; das Realteilspektrum ist ein

spektraler Dirac-Kamm. Dieses komplexe Spektrum müsste nun mit dem Anregungsspektrum

multipliziert werden, was aber für die meisten Betrachtungen immer noch zu kompliziert ist.

Aus diesem Grund wird weiter idealisiert: Die (unbedämpfte) Saitenschwingung wird nicht

bei

= 0 angeregt, sondern sie kommt aus der unendlichen Vergangenheit und dauert unend-

lich lang. Da sie periodisch stationär ist, kann eine Schwingungsperiode in eine Fourier-Reihe

entwickelt werden. Als Schwingungsspektrum entsteht ein

Linienspektrum

, mit Frequenz-

linien (Tönen) bei ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz.

Damit kann man die Gesamtschwingung als Summe überlagerter (addierter) Einzeltöne auf-

fassen; sie werden Teiltöne, Partialtöne oder (wegen der ganzzahligen Frequenzrelationen)

Harmonische

genannt. Der Grundton ist die 1. Harmonische, bei der doppelten Grund-

frequenz befindet sich die 2. Harmonische, die in der Musik auch 1.

Oberton

genannt wird.

Entsprechendes gilt für die höheren Harmonischen (3. Harmonische = 2. Oberton etc.).

Die Realität unterscheidet sich von diesen Idealisierungen wesentlich. Ein Linienspektrum er-

fordert ein unendlich lang dauerndes, periodisches Signal. Periodisch bedeutet in der Signal-

theorie, dass ein bestimmter Signalabschnitt in identischer Form unendlich oft wiederholt

wird. Die Saite verliert beim Hin- und Herschwingen aber Energie, weswegen keine identi-

schen Abschnitte wiederholt werden können. Die Saitenschwingung ist somit ein nicht-

periodisches Signal, zu dem kein Linienspektrum gehört; die Spektrallinien werden vielmehr

dämpfungsbedingt zu "Trichtern" verbreitert. Ursache für den Energieverlust sind

Dissipation

und Strahlung: Die Saitenenergie wird teils direkt in Wärme umgewandelt, teils als Schall-

energie abgestrahlt. Ein weiterer Effekt, der für genaue Betrachtungen nicht ignoriert werden

darf, ist die in Kap. 1.3 ausführlicher beschriebene frequenzabhängige Ausbreitungsgeschwin-

digkeit (

Dispersion

Auch wenn die Saitenschwingung eigentlich dispersiv und dissipativ erfolgt, ist zum Ver-

ständnis der Bewegungsabläufe trotzdem die vereinfachte idealisierte Betrachtung sinnvoll,

solange nur kurze Zeitausschnitte betrachtet werden.

Beim idealisierten Anzupfen wird die Saite dreieckförmig ausgelenkt (

Abb. 1.2

). Wenn das

Plektrum (oder der Finger) den Kontakt mit der Saite verloren hat, schwingt diese (idealisiert)

frei und ungedämpft. Die Form der Querauslenkung kann man als Überlagerung zweier ent-

gegengesetzt laufender Teilwellen auffassen. Im Anzupf-Augenblick sind beide Teilwellen

identisch, laufen für

> 0 aber in entgegengesetzter Richtung auseinander; die Beträge der

Ausbreitungsgeschwindigkeiten sind gleich.

Die Auslenkung jeder Teilwelle ist für

= 0 am

Kopf- bzw. Stegsattel gleich null, am Anzupfpunkt ist sie maximal. Die dreieckige Form setzt

sich als Spiegelwelle am Kopf- bzw. Stegsattel punktsymmetrisch (ungerade) fort. Die Aus-

lenkungen beider

Teilwellen

werden überlagert zur Auslenkung der Saite, Analoges gilt für

alle Ableitungen, z.B. für die Geschwindigkeit.